2007/08/02

Verdades escolhidas

A teoria das probabilidades é um ramo da matemática e, como todos os ramos da matemática, está fundada num conjunto de verdades absolutas e indemonstráveis - os axiomas.

Os axiomas da teoria das probabilidades são três e fáceis de enunciar: [...] É sobre estas três verdades simples e indemonstráveis que se contrói em seguida todo o edifício da teoria das probabilidades e da estatística matemática.

É possível questionar, rejeitar até, os axiomas? É, mas quem os rejeitar não terá uma teoria das probabilidades e todos os benefícios que dela resultam; pelo contrário, quem quiser ter uma teoria das probabilidades - e, depois, também, o corpo teórico da inferência estatística - tem de aceitar os axiomas como um acto de fé. A escolha é simples. Eu consagrava sempre muito tempo a esta parte da matéria e só depois prosseguia pela teoria fora, enunciando os teoremas e demonstrando-os, derivando os corolários, etc. Mas que ficasse bem claro: os axiomas não são demonstráveis.

Pedro Arroja.
Nada a apontar à constatação final de Pedro Arroja de que os axiomas, por definição, não se demonstram. Mas, quanto a mim, parece transpirar da generalidade das palavras do artigo em causa um equívoco: o de que os axiomas são Verdade, e de que a adesão aos axiomas é um acto de fé. Ora, quanto a mim, pela definição de axioma, tal não deixa de ser falso.

Um axioma, por definição, não é uma Verdade revelada, não é sequer uma verdade empírica ou, no limite, nem precisa de ser verdadeira no sentido de ser corroborada pela verdade dos factos tangíveis. Um axioma é o resultado de uma convenção, associado geralmente a um determinado domínio de aplicabilidade, não sendo mais que uma proposição que se convenciona, portanto, ser verdadeira para além da demonstrabilidade ou da realidade dos factos. O estabelecimento de um axioma é uma ferramenta, um building block para uma determinada teoria sustentada por uma sucessão auditável e rastreável (racional) de inferências originadas desses axiomas. É válido enquanto for útil per se, não for substituído por um conjunto de axiomas que permitam generalizar a um domínio mais amplo que inclua o da teoria anterior anterior, ou enquanto não se concluir estar demasiado afastado da realidade física para ser útil.

Além disso, Pedro Arroja está, penso, equivocado noutra questão: a rejeição de um axioma não se conjuga com a perda irreparável e total de toda a teoria que foi derivada a partir de si, nem implica a perda dos seus "benefícios". Não é, necessariamente, uma decisão de "tudo ou nada", e sobre isso não faltam exemplos na História, concretamente no caso da Matemática e da Física.

No caso da Matemática, temos o exemplo da denominada Geometria Euclidiana. Um dos axiomas desta teoria postula (interpretativamente) que a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180 graus. Baseando-se neste axioma (conjugado com outros), foi desenvolvido todo um edifício de teoria da geometria, que durante muito tempo resolveu problemas e permitiu aplicações derivadas em outras ciências. Contudo, em termos de domínio de aplicação, a determinada altura constatou-se que esses axiomas, nomeadamente o em discussão, estavam restritos à geometria do plano, bidimensional, e que não escalavam para a geometria n-dimensional que se tornava desejada de formulação nos outros domínios científicos. Por exemplo, um triângulo inscrito na superfície de uma esfera define angulos internos cuja soma excede os 180 graus.

O facto de a teoria baseada nesse axioma se ter tornado limitada não tornou a Geometria Euclidiana obsoleta nem a riscou dos livros de Matemática. Tão somente permitiu, constatando a sua limitação ao novo domínio que se queria abraçar, concluir que não se ajustava e que tinha que ser estabelecido um novo conjunto de axiomas. E assim vivemos felizes e contentes com a Geometria Não-Euclideana convivendo saudavelmente com a Geometria Euclideana, cada qual cumprindo as suas funções, aplicadas aos domínios em que são úteis.

Na Física tivemos exemplos semelhantes. Durante muito tempo, a Física Newtoniana postulou a constância da velocidade da luz*, até que os domínios de aplicação onde se desejava aplicá-la revelaram as suas limitações, tendo sido substituída como teoria geral pela Física Relativista, não obstante mantendo-se o seu uso em domínios de aplicabilidade restritos e em que o seu uso fosse consciente das suas limitações.

No harm done.

Para concluir, a Fé não é para nada aqui chamada, no que toca a axiomas. Estes são escolhas conscientes, auto-contidas e auto-esclarecidas. E com validade limitada no tempo, tempo durante o qual, sim, se convenciona a sua verdade proposicional absoluta.

*Adenda: quando me referi à Física Newtoniana cometi, lamentavelmente, um lapso. O que pretendia dizer é que as considerações desta de linearidade do tempo e da variação da distância entre dois observadores em que um deles se desloca a velocidade constante do outro foram substituídos na Física Relativista por conceitos de tempo e distancia relativos, subordinados a um novo axioma que estipula a constância da velocidade da luz no vazio. As minhas desculpas pelo erro.

(Publicado também n'O Insurgente.)

3 comentários:

Mentat disse...

Caro JLP

Não acha que esta afirmação :

"O facto de a teoria baseada nesse axioma se ter tornado limitada não tornou a Geometria Euclidiana obsoleta nem a riscou dos livros de Matemática."

está em contradição com esta :

"...no que toca a axiomas. Estes são escolhas conscientes, auto-contidas e auto-esclarecidas. E com validade limitada no tempo,..."

Se a Geometria Euclidiana não se tornou obsoleta (e eu estabeleço aqui o axioma, que nunca se tornará) então a validade dos seus axiomas não é limitada no tempo.
Por isso tenho que ter "fé" que a soma dos ângulos dum triângulo é sempre 180º, e que PI é uma constante na razão entre a superficie e o perímetro duma circunferência.
.

JLP disse...

Tornou-se obsoleta como teoria geral, ou seja, como sendo a teoria com domínio de aplicação mais alargado. Em casos desse domínio alargado verificou-se que considerar a proposição estabelecida por esse axioma como verdadeira deixava de fazer sentido.

Não quer dizer que tenha deixado por isso de ser útil no seu domínio de aplicação original (ou mesmo no novo, estando quem a usa consciente das suas limitações e pressupostos).

De resto, Pi não é um axioma. É sim definido a partir dos axiomas da GE, da forma como o faz.

daniel disse...

O problema que embrulha todas estas proposições é a dificuldade, tantas vezes notada por Agostinho da Silva, em definir os conceitos que se tratam. Primeiro que tudo, quem garante o carácter verdadeiro ou falso de uma proposição lógico-matemática? Serão os teoremas e as regras lógicas. Mas de onde vem o fundamento de todo esse edifício conceptual? Dos axiomas. Os axiomas são a base de toda a matemática. Mas quem é que garante o carácter verdadeiro ou falso desses axiomas? É claro que é o homem. Está certo indicar que a existência de um axioma não implica a sua veracidade porque um axioma é exactamente uma convenção, mais propriamente, e como foi bem dito, uma proposição que se convenciona ou se adopta como verdadeira sem se ter a prova (lógico-matemática) da sua veracidade. Mas será que a fé não é para aqui chamada? Primeiro que tudo, e para que não haja confusões, o que é que se entende por fé? Bem, talvez possamos classificar como fé o facto de alguém acreditar que é verdadeira ou que é falsa uma determinada proposição que não foi, ou pelo menos até à data, provada por nenhum meio. Se se tem a prova, então aqui a fé reside no facto de se acreditar no carácter da proposição rejeitando ou não considerando a prova. Mas, se se tem a prova, é bom notar que o carácter da proposição está definido de forma precisa. Ora, quando construimos ou consideramos um axioma, afirmamos algo de que não temos certeza ou prova nenhumas. Portanto, crendo (e eis aqui a fé) que essa proposição é verdadeira ou falsa, independentemente de qualquer explicação lógica. Portanto, se definimos fé como tal, estamos a dizer que um axioma resulta de um acto de fé, de um acreditar em algo. Assim, e estando a matemática fundada em axiomas, toda ela se resume a um pleno acto de fé. E se dúvida ainda restasse da validade desta conclusão, o aparecimento das chamadas geometrias não euclidianas, que foi o exemplo escolhido, mais oferece fundamento. Isto é, o facto de se ter desenvolvido uma matemática com proposições verdadeiras, teoremas e restantes estruturas lógicas partindo de um conjunto distinto de axiomas mostra que se mudarem os objectos da fé, isto é, se mudarem as proposições axiomáticas que se consideram, acreditam ou tomam como verdadeiras, é possível construir uma matemática inteiramente nova e com propriedades bastante diferentes, no caso do exemplo escolhido, das da matemática bidimensional de Euclides. O problema aqui não está na validade dos axiomas, o problema está realmente é nas pessoas. Se se necessita de uma prova para se considerar verdadeira ou falsa alguma coisa, então têm que se deixar cair todos os axiomas que existem. E não poderia existir matemática nenhuma. Se não é preciso uma prova para aceitar algo, então aceita-se esse algo como se quer. Mas mais ainda. Que prova temos nós de que o mundo, ou o universo, ou as pessoas, ou que qualquer coisa que nós vemos, sentimos e pensamos é real e verdadeira? Não temos prova nenhuma, não há nenhuma matemática até hoje que consiga provar se tudo isto é real ou não. Portanto, resta-nos construir uns quantos axiomas, acreditar que existimos, que o mundo existe, e que o universo, e os planetas, e as galáxias e tudo aquilo que se faz existe. Mas a única verdade é que não sabemos!